Сложение

Вопрос 1. Выпишем результаты выполнения операций: 1, 2, 4, 8, 16, 22, 24, 28, 36, 42, 44, 48, 56, 62, 64, 68. Ответ: 68.

Далее заметим, что у последовательности последних цифр чисел, входящих в последовательность, есть «период» из четырёх элементов 2, 4, 8, 6. Если получилось какое-то число $$$a$$$, то после выполнения следующих четырёх операций мы придём к числу $$$a+20$$$, заканчивающемуся на ту же цифру. Это поможет ответить на оставшиеся вопросы.

Вопрос 2. Чтобы получить число 2022 нужно применять операции к числу 2 так, чтобы период повторился $$$(2022-2):20=101$$$ раз. То есть требуется совершить $$$101\cdot4+1=405$$$ операций (101 раз повторяется период и ещё одна операция необходима, чтобы получить число 2 из числа 1).

Вопрос 3. Первое трёхзначное число, которое может быть получено — это 102 (к числу 2 прибавили период 20, повторённый 5 раз). Чтобы получить число 1002 повторим период $$$(1002-102):20 = 45$$$ раз. То есть число 1002 получится из числа 102 за $$$45\cdot 4 = 180$$$ операций. При этом число 1002 не является трёхзначным, предыдущее число в ряду будет равно 996, и между 102 и 996 (включительно) как раз окажется 180 элементов последовательности.

Вопрос 4. Максимальное семизначное число может оканчиваться цифрами 8, 6, 4, 2. Число 9999998 не подходит, а число 9999996 вполне, потому что $$$9999996=9999980+16$$$, а число $$$9999980$$$ делится на 20.

Вопрос 5. Будем представлять степень двойки в виде суммы одного из начальных членов последовательности 2, 4, 8, 16 и числа, кратного 20: $$$64=4+60$$$, $$$128=8+120$$$, $$$256=16+240$$$, но $$$512=2+510$$$, а поскольку 510 не делится на 20, то число 512 не встретится в последовательности.

Ответы: 68, 405, 180, 9999996, 512.